کاربرد روش المان محدود

در مقاله ای جداگانه تحت عنوان آشنایی با روش اجزای محدود  Finite Element Method به آشنایی با روش اجزای محدود به طور کامل پرداخته شد و ذکر گردید که روش اجزای محدود به دلیل اینکه در معادلات دیفرانسیل بسیار پر کاربرد می باشد در بسیاری از رشته های مهندسی از جمله عمران , مکانیک و برق کاربرد فراوانی دارد و در بسیاری از پایان نامه های کارشناسی ارشد و مقالات علمی و پژوهشی از این روش برای حل معادلا دیفرانسیل استفاده می شود . در ادامه این مقاله آموزشی به کاربرد روش اجزای محدود یا المان محدود پرداخته می شود که امیدواریم برای دانشجویان کارشناسی ارشد و علاقمندان مفید واقع شود .  روش اجزای محدود روشی عددی برای حل معادلات دیفرانسیل مسائل مهندسی می­باشد .

در روش المان محدود ابتدا با فرضیات منطقی مسئله مورد نظر را بررسی نموده و پس از بدست آمدن معادله دیفرانسیل مسئله نسبت به حل آن با روش های عددی اقدام می­نماییم . به صورت کلی در روش المان محدود ابتدا یک ماده پیچیده که بیانگر محیطی پیوسته است را به شکل های هندسی کوچکتر و ساده تر تقسیم بندی نموده و با فرض توابع شکلی که شرایط مرزی را ارضا نماید معادلات مجموعه المان ها را بدست آورده و حل نموده و پارامترهای مورد نظر را بدست می آوریم . واضح است که برای استفاده از این روش ها ما نیاز به استفاده از کامپیوترهای با سرعت بالا و قابلیت پردازش بالا داریم . در صورت عدم وجود رایانه عملا روش المان محدود ارزش عملی جندانی نخواهد داشت یا لااقل ناچیز خواهد بود .

گرچه تاریخ پیدایش  روش المان محدود مبهم است اما مزایای آن کاملاً روشن است . از روش اجزای محدود برای اجسامی با اشکال نامنظم هندسی و مرکب از جنس های مختلف و شرایط مرزی متفاوت به آسانی استفاده می شود. در مسائل پایدار و گذرا و همچنین در مسائلی با خواص غیرخطی کاربرد خواهد داشت . از دیگر امتیازات اصلی روش المان محدود کاربرد آسان آن می باشد . بسیاری از برنامه های عمومی مستقل از استفاده کننده به این روش نوشته شده یا میتوان نوشت .

این روش شامل 5 بخش کلی می­باشد که عبارتند از :

پیش پردازش: تقسیم دامنه مسئله به اجزای محدود (گسسته سازی) : در این مرحله  یک ماده پیچیده که بیانگر محیط پیوسته است به شکل های هندسی ساده­ تر که اجزای محدود نامیده میشود، تقسیم میگردد . 

رابطه سازی جزء : در این مرحله یک تابع فرض می کنیم که شرایط مرزی را ارضا کند و در این میدان صدق کند .

سوار کردن (Assembly) : در این مرحله پس از بدست آوردن معادلات حاکم برای دامنه مسئله از کنار هم قرار دادن معادله های حاکم بر هر جزء، مجموعه معادلات حاکم بر کل دامنه مساله تعیین می­گردد.

حل معادلات : در این مرحله از انواع روش های عددی موجود همانند روش تفاضل محدود ، روش واریاسیون و روش های باقیمانده­ی وزنی که خود انواع متفاوتی دارند  استفاده می­نماییم.

پس­پردازش :  در این مرحله پس از بدست امدن مجهولات اولیه ، پارامترهای ثانویه­ای که مدنظر می­باشد ( همانند تنش ، فشار ، سرعت و ....)  را تعیین می­نماییم . البته  در حالت­های ساده ای مانند سیستم های شامل فنر و یا خرپاها ، میتوان رفتار جزء را به طور مستقیم تعریف کرد و نیازی به در نظر گرفتن معادله دیفرانسیل حاکم نیست .

روش اجزای محدود با توجه به اینکه روشی عددی می­باشد دارای همگرایی و دقت همگرایی می­باشد . دقت روش اجزای محدود به پارامترهای مختلفی بستگی دارد که از جمله آنها می توان به موارد زیر اشاره کرد:

اصلی ترین عامل در دقت نتایج به اندازه شبکه بندی بستگی دارد . عامل دیگر نوع المان انتخابی برای حل می­باشد . همچنین نوع روش حل و انتخاب روش­های اویلرین یا لاگرانژین در دقت حل و همگرایی حل بسیار مهم می­باشند . از عوامل بسیار مهم دیگر برای دقت پاسخ ها این است که در انتخاب نوع المان ها فیزیک مسئله برای ما مهم است یا هندسه­ی مسئله؟ اگر هندسه مسئله مهم­تر است بایستی از المان های سوپرپارامتریک استفاده نمود و اگر فیزیک مسئله مهم تر است از المان های ساب پارامتریک و در صورتی که اهمیت هر دو یکسان است از المان های ایزو پارامتریک باید استفاده نمود .

همچنین در مورد همگرایی حل اجزای محدود باید گفت که چنانچه با ریز کردن شبکه بندی ، پاسخ ها به مقدار خاصی همگرا شوند ، گفته میشود که حل دارای همگرایی است . انتخاب پاسخ های آزمونی و همچنین تابع های وزنی در همگرایی حل اجزای محدود موثر است . تابع های وزنی و همچنین پاسخ آزمونی باید به اندازه کافی نرم باشند . این نرمی به درجه مشتق های ظاهر شده در شکل ضعیف معادله حاکم بستگی دارد .

در این مقاله آموزشی به کاربرد روش المان محدود یا اجزای محدود پرداخته شد که امیدواریم برای داتشجویان کارشناسی ارشد برای ارایه مقالات علمی و پژوهشی و کاربرد در پایان نامه های کارشناسی ارشد مفید واقع شود . لازم به ذکر است که برای آشنایی بیشتر با روش المان محدود می توانید بر روی روش المان محدود یا اچزای محدود کلیک نمایید تا به مقاله مورد نظر هدایت شوید.

برای مطالعه مقاله های آموزشی دیگر می توانید مقاله های زیر را مطالعه نمایید :

آموزش نصب نرم افزار Fluent

آموزش مقدماتی و راهنمای نصب نرم افزار Matlab

کاربرد ارتعاشات آزاد

آشنایی با نانوکامپوزیت ها